In einem großen Topf das Olivenöl erhitzen und die Kaninchenkeulen von allen Seiten anbraten, bis sie goldbraun sind. Anschließend aus dem Topf nehmen und beiseitelegen.
Im gleichen Topf die Zwiebel, Karotten, Sellerie und Knoblauch anbraten, bis sie weich sind.
Die Kaninchenkeulen zurück in den Topf geben und mit der Gemüsebrühe und dem Rotwein ablöschen. Thymian und Lorbeerblatt hinzufügen. Mit Salz und Pfeffer würzen.
Den Deckel auf den Topf setzen und die Mischung bei niedriger Hitze 1,5 bis 2 Stunden schmoren lassen, bis das Fleisch zart ist.
In der Zwischenzeit die Tagliatelle nach Packungsanweisung kochen. Abgießen und beiseitelegen.
Nach dem Schmoren die Kaninchenkeulen aus dem Topf nehmen und die Sauce nach Belieben pürieren oder durch ein Sieb passieren.
Die Tagliatelle auf Tellern anrichten, die geschmorte Kaninchenkeule darauflegen und mit der Sauce übergießen. Mit geriebenem Parmesan bestreuen.